Verser dans le bol d’un robot pétrisseur les œufs entiers et les battre à la fourchette.
Ajouter le lait, le sucre, le sel ainsi que le rhum.
Verser la farine et commencer à pétrir à vitesse minimum pendant 1 minute.
Ajouter la levure et continuer de pétrir en passant à vitesse 2 pendant 10 minutes.
Ajouter le beurre en continuant à pétrir, et laisser pétrir pendant 6 minutes toujours à vitesse 2.
Le beurre doit être bien incorporé et la pâte doit se décoller du bol.
A l’aide d’une corne à pâtisserie, former une boule de pâte.
Couvrir la cuve d’un torchon propre et laisser pousser la pâte durant 1h15 dans un four préchauffé à 30°C ou près d’une source de chaleur.
Une fois la pousse terminée, la pâte doit avoir doublée de volume.
Fariner un plan de travail et verser la pâte.La dégazer pour chasser l’air et diviser la pâte en 3 morceaux d’égale grosseur.
Former avec chaque morceau un long boudin.Placer les 3 boudins ainsi formés côte à côte et rassembler l’extrémité du haut des 3 boudins ensemble en appuyant dessus.Tresser la brioche sans serrer.
Déposer la tresse sur une plaque de cuisson recouverte de papier cuisson. Souder l'extrémité.
Couvrir la tresse avec un linge humide et laisser à nouveau lever pendant 45 minutes environ près d’une source de chaleur.
Battre le jaune d’œuf avec un peu de lait et dorer la brioche avec un pinceau alimentaire puis parsemer de sucre en grains.
Allumer le four à 180°C et enfourner aussitôt (on enfourner donc à four froid).
Cuire 30 minutes en couvrant d’une feuille de papier aluminium si la brioche dore trop vite.
Laisser refroidir sur une grille.